Как крутые сервисы типа Твиттера умудряются из элементарной фигни сделать огромную проблему — это просто уму непостижимо. Но факт остается фактом: скопировать гифку из твита просто так не получится. Нет на нее открытой ссылки. Поэтому приходится прибегать к услугам различных сервисов.
Тут еще одна засада: все эти сервисы сохраняют gif’ы как видео! В формате mp4. Если вам потом непременно надо будет использовать именно графический вариант анимашки, придется воспользоваться еще какой-нибудь онлайн тулзой или приложением на компе, чтобы сконвертировать mp4 обратно в gif.
Сервисы, забирающие mp4 из поста в Твиттере, хотят от вас ссылку на твит. Взять ее можно, если кликнуть на галочку в верхнем правом углу твита: откроется выпадающее меню, один из пунктов которого — как раз скопировать ссылку на твит. Скопируйте эту ссылку и скормите выбранному сервису.
Я делаю иначе: кликаю на сам твит, открывается страница с ним, и я забираю ссылку на твит из адресной строки. Ну, это кому как удобнее.
Что касается онлайн сервисов для скачивания гифок из Twitter, мне приглянулись два из них.
1. SssTwitter
Этот сервис понравился мне больше всех. Во-первых, потому что после того, как скормишь ему ссылку на твит, он предоставляет выбор качества и форматов видео для скачивания:
Во-вторых, он позволяет еще больше облегчить себе жизнь, установив расширение для браузера Chrome, либо скачать видео прямо со страницы в Твиттере. Для этого в адресной строке на странице с твитом нужно перед ссылкой добавить sss, например:
https://twitter.com/Eminem/status/943590594491772928 —>
https://ssstwitter.com/Eminem/status/943590594491772928
Сервис доступен на 10 языках, в том числе на русском.
2. Downloadtwittervideo
Похож на предыдущий. Берем ссылку на твит, вставляем в форму на сайте, ждем несколько секунд — и открывается окошко закачки mp4 на диск.
Сайт тоже мультиязычный, поддерживает 21 язык.
П. С. Но необходимость потом mp4 снова конвертить в gif — ващеее… 
Формат gif устарел, на популярных сервисах, например ВК, фейсбук гиф после загрузки на сервер заменяют на видео. Размер файла в десятки раз меньше, грузится быстрее. Соответственно сервисы по скачиванию могут скачать только видео, гифки на странице нет. Я пользуюсь расширением для Хрома VideoDownload Helper, он распознает видео на страницах и позволяет скачать его. Пример на скриншоте:
http://prntscr.com/lo8ivy
А конвертирую можно с помощью ffmpeg, перед этим вырезав кусок при необходимости с помощью SolveigMM Video Splitter.
Во-первых, с чего это gif устарел? И если устарел, почему именно сейчас (пару последних лет) гифки в постах стали так популярны? Не видео закачивают, а видео, переконвертированное в gif! Зачем париться тогда, раз этот формат так плох?
Во-вторых. Даже засомневалась после Ваших слов! Пошла в свою ленту в ВК, нашла там гифку, открыла ее и скачала. В формате GIF! Так что ничего VK не заменяет. А фейсбук и твиттер известные маразматики.
Популярны не сами гифки в постах, а короткая анимация. Сам формат имеет мало преимуществ, помимо того что поддерживается всеми браузерами. 255 цветов, большой размер — большой минус по сравнению с mp4. Когда я говорил, про ВК, я имею в виду, что ВК, как другой популярный сервис, принимает формат гиф, конвертирует в видео и уже его отображает на странице. Вот 2 скриншота:
https://prnt.sc/lon8y6
https://prnt.sc/lon9x2
Как-то можно скачать и оригинальный гиф файл, не искал.
Хм. Ну, я проще поступаю. В посте ВК (в других соцсетях — нет) непосредственно GIF, как и любую картинку, можно открыть в отдельном окне. Там она открывается в своем родном формате — gif.